《數學史》朱家生版+課后題目參考答案+第四章 - 下載本文

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有哪些?

答:全書內容豐富,且密切聯系實際,《九章算術》全書共有246個應用題,基本上都是與生產實踐、日常生活有聯系的實際應用問題。這些問題分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。

《九章算術》注重實際問題和長于計算的特點,對中國傳統數學的發展有著極其深刻的影響。可以說,與西方數學的演繹推理相映生輝的具有中國特色的算法體系的形成即始于《九章算術》。《九章算術》成書以后,便成為中國傳統數學的經典,特別是唐代以來,經官方認定該書成為“算經十書”中最重要的一部,成為后來的數學家們學習、研究和著述的依據。

5.試闡述劉徽的主要數學成就.

劉徽的杰作《九章算術注》和《海島算經》,是中國最寶貴的數學遺產。劉徽思想敏捷,方法靈活,既提倡推理又主張直觀.他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人.

《九章算術》約成書于東漢之初,共有246個問題的解法。在許多方面:如解聯立方程,分數四則運算,正負數運算,幾何圖形的體積面積計算等,都屬于世界先進之列。

但因解法比較原始,缺乏必要的證明,劉徽則對此均作了補充證明。在這些證明中,顯示了他在眾多方面的創造性貢獻。他是世界上

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最早提出十進小數概念的人,并用十進小數來表示無理數的立方根。在代數方面,他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則,改進了線性方程組的解法。在幾何方面,提出了\割圓術\,即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法。他利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.1416的結果。他用割圓術,從直徑為2尺的圓內接正六邊形開始割圓,依次得正12邊形、正24邊形??,割得越細,正多邊形面積和圓面積之差越小,用他的原話說是“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣。”他計算了3072邊形面積并驗證了這個值。劉徽提出的計算圓周率的科學方法,奠定了此后千余年來中國圓周率計算在世界上的領先地位。

劉徽在數學上的貢獻極多,在開方不盡的問題中提出“求徽數”的思想,這方法與后來求無理根的近似值的方法一致,它不僅是圓周率精確計算的必要條件,而且促進了十進小數的產生;在線性方程組解法中,他創造了比直除法更簡便的互乘相消法,與現今解法基本一致;并在中國數學史上第一次提出了“不定方程問題”;他還建立了等差級數前n項和公式;提出并定義了許多數學概念:如冪(面積);方程(線性方程組);正負數等等.劉徽還提出了許多公認正確的判斷作為證明的前提.他的大多數推理、證明都合乎邏輯,十分嚴謹,從而把《九章算術》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎之上。雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作,但他注《九章算術》所運用的數學知識,實際上已經形成了一個獨具特色、包括概念和判斷、

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并以數學證明為其聯系紐帶的理論體系。

劉徽在割圓術中提出的\割之彌細,所失彌少,割之又割以至于不可割,則與圓合體而無所失矣\,這可視為中國古代極限觀念的佳作。《海島算經》一書中,劉徽精心選編了九個測量問題,這些題目的創造性、復雜性和富有代表性,都在當時為西方所矚目。劉徽思想敏捷,方法靈活,既提倡推理又主張直觀。他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人。

6、球體積的計算常常被用來衡量各個國家和地區數學發展水平的一把尺子,中國數學家在這方面的成就是非常杰出的。試闡述從《九章算術》到劉徽、祖氏父子在這方面的工作與成就。

答:《九章算術》第五章“商功”主要論述了各種立體圖形的體積算法,其中包括柱、錐、臺、球體等。劉徽一生不僅成就卓著,而且品格高尚。在學術研究中,他既不迷信古人,也不自命不凡,而是堅持實事求是,以理服人。

為了說明少廣章的“開立圓術”劉徽又引入一種新的立體:以正方體相鄰的兩個側面為底分別作兩次內切圓柱切割,剔除外部,剩下的內核部分劉徽稱之為“牟合方蓋”。他用截面法證明內切球與“牟合方蓋”的體積之比為,而明顯可以看出“牟合方蓋”的體積要比圓柱要小。顯然,如果能求出牟合方蓋的體積,球的體積就自然可以求出了,劉徽對于牟合方蓋的體積如何求處,百思不得其解,故最后不得不“付之缺疑,以俟能言者”。由此我們可以看出劉徽學術研究中的嚴謹與謙遜的態度,也許正是這二者的結合,使得劉徽在數學研

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究方面作出了舉世矚目的成就,給后人留下豐富的文化財富。

7.宋元時期最杰出的數學家有哪些?試闡述他們的代表作和主要數學成就。

中國古代數學在宋元時期達到繁榮的頂點,涌現了一大批卓有成就的數學家.其中秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰成就最為突出,被譽為“宋元數學四大家”.

秦九韶(公元1202-1261),字道古,安岳人.其父秦季棲,進士出身,官至上部郎中、秘書少監.秦九韶聰敏勤學.宋紹定四年(1231),秦九韶考中進士,先后擔任縣尉、通判、參議官、州守、同農、寺丞等職.先后在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官,1261年左右被貶至梅州(今廣東梅縣),不久死于任所.他在政務之余,對數學進行虔心鉆研,并廣泛搜集歷學、數學、星象、音律、營造等資料,進行分析、研究.宋淳祜四至七年(1244至1247),他在為母親守孝時,把長期積累的數學知識和研究所得加以編輯,寫成了聞名的巨著《數學九章》,并創造了“大衍求一術”.這 不僅在當時處于世界領先地位,在近代數學和現代電子計算設計中,也起到了重要作用,被稱為“中國剩余定理”.他所論的“正負開方術”,被稱為“秦九韶程序”.現在,世界各國從小學、中學到大學的數學課程,幾乎都接觸到他的定理、定律和

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解題原則.秦九韶在數學方面的研究成果,比英國數學家取得的成果要早800多年.

李冶(1192-1279)是中國古代數學家,字仁卿,號敬齋,真定府欒城縣(今河北省欒城縣)人.1234年初,金朝終于為蒙古所滅.金朝的滅亡給李冶生活帶來不幸,但由于他不再為官,這在客觀上使他的科學研究有了充分的時間.他在桐川的研究工作是多方面的,包括數學、文學、歷史、天文、哲學、醫學.其中最有價值的工作是對天元術進行了全面總結,寫成數學史上的不朽名著----《測圓海鏡》.

楊輝,中國南宋時期杰出的數學家和數學教育家.在13世紀中葉活動于蘇杭一帶,其著作甚多.他著名的數學書共五種二十一卷.著有《詳解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通變本末》三卷(1274年)、《田畝比類乘除算法》二卷(1275年)、《續古摘奇算法》二卷(1275年).楊輝的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面,他對籌算乘除捷算法進行總結和發展,有的還編成了歌決,如九歸口決.他在《續古摘奇算法》中介紹了各種形式的\縱橫圖\及有關的構造方法,同時\垛積術\是楊輝繼沈括\隙積術\后,關于高階等差級數的研究.楊輝在\纂類\中,將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序,重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分,勾股等九類.他非常重視數學教育的普及和發展,在《算法通變本末》中,楊輝為初學者制訂的\習算綱目\是中國數學教育史上的重要文獻.

朱世杰(1300前后),字漢卿,號松庭,寓居燕山(今北京附近),





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